韋達定理

韋達定理

韋達定理（Vieta's formulas）是數學中關於多項式根與係數關係的重要定理，由法國數學家弗朗索瓦·韋達（François Viète）在16世紀提出。該定理描述了多項式的根與其係數之間的顯著關係，特別適用於二次方程，也可推廣至高次多項式。

二次方程的韋達定理

對於一般形式的二次方程：

設其兩個根為 $x_1$ 和 $x_2$，則韋達定理表述為：

高次多項式的推廣

對於n次多項式：

設其n個根為 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，則韋達定理的一般形式為：

其中 $k = 1, 2, \ldots, n$。

韋達定理以法國數學家弗朗索瓦·韋達（1540-1603）命名，他是代數學發展史上的關鍵人物。韋達首次系統性地使用字母表示未知數和已知係數，為代數符號體系的建立奠定了基礎。他在《論方程的識別與訂正》等著作中闡述了這些關係。

二次方程的證明

1. 因式分解法：設二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的兩個根為 $x_1$ 和 $x_2$，則可表示為：

   $$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$$

   展開後與原式比較係數即可得證。

2. 求根公式法：直接利用二次方程求根公式計算 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 \cdot x_2$。

高次多項式的證明

使用多項式的因式分解表示：

展開右邊並比較兩邊的係數即可得到韋達定理的一般形式。

求解方程

已知二次方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$，利用韋達定理：

可推測根為2和3。

構造方程

已知兩數和為7，積為12，則可構造方程：

對稱多項式的計算

對於高次多項式，韋達定理提供了計算根的對稱多項式（如平方和、立方和等）的便捷方法。

韋達跳躍（Vieta jumping）

這是一種數學證明技術，特別在數論中用於解決某些類型的Diophantine方程問題。它結合了韋達定理和無窮下降法。

牛頓恆等式

描述了多項式根的冪和與係數之間的關係，可視為韋達定理的推廣。

對稱多項式

韋達定理中的關係式都是對稱多項式，即不隨根的排列順序而改變。

韋達定理不僅是代數學的基本工具，還在以下領域有廣泛應用：

• 多項式理論研究

• 方程求解與根的性質分析

• 數論問題的解決

• 幾何問題的代數處理

• 物理和工程中的模型建立

該定理的美妙之處在於它揭示了多項式係數與根之間的深刻對稱關係，成為連接代數方程形式與其解的橋樑。