諧振

諧振

諧振（Resonance）是指物理系統在特定頻率下，比其他頻率以更大振幅做振動的現象。這個特定頻率稱為諧振頻率或共振頻率。在諧振頻率下，系統能夠從外界吸收最大能量，產生顯著的振動效果。

諧振現象廣泛存在於自然界和工程技術中，從微觀的原子振動到宏觀的機械結構、電路系統乃至天體運動，都可能出現諧振現象。理解諧振原理對於設計振動系統、避免有害共振以及利用有益共振都具有重要意義。

線性系統中的諧振

在線性系統中，諧振發生在系統的固有頻率與驅動力的頻率相同或接近時。此時系統會出現振幅急劇增大的現象。線性諧振系統通常可以用二階常微分方程描述：

m(d²x/dt²) + c(dx/dt) + kx = F₀cos(ωt)

其中：

• m 為系統質量

• c 為阻尼係數

• k 為彈性係數

• F₀ 為驅動力振幅

• ω 為驅動頻率

諧振頻率計算

無阻尼系統的諧振頻率（固有頻率）計算公式為：

ω₀ = √(k/m)

有阻尼系統的諧振頻率略有不同：

ωᵣ = √(ω₀² - (c/2m)²)

當阻尼很小時，ωᵣ ≈ ω₀。

品質因數

品質因數Q是描述諧振尖銳程度的重要參數：

Q = ω₀m/c = √(mk)/c

高Q值系統諧振峰尖銳，低Q值系統諧振峰寬闊。

LC諧振電路

由電感L和電容C組成的電路會產生電諧振，其諧振頻率為：

f = 1/(2π√(LC))

在諧振時，電感的感抗和電容的容抗相互抵消，電路呈現純電阻性。

串聯諧振

串聯RLC電路在諧振時具有以下特性：

• 阻抗最小，等於電阻R

• 電流最大

• 電感與電容上的電壓可能遠大於源電壓（電壓放大）

並聯諧振

並聯RLC電路在諧振時具有以下特性：

• 阻抗最大

• 電流最小

• 支路電流可能遠大於總電流（電流放大）

彈簧-質量系統

最簡單的機械諧振系統由彈簧和質量塊組成，其諧振頻率為：

f = (1/2π)√(k/m)

其中k為彈簧勁度係數，m為質量。

結構諧振

建築物、橋樑等大型結構也有固有頻率，當外界激振頻率與其一致時會發生結構諧振，可能導致災難性後果（如1940年塔科馬海峽吊橋倒塌事故）。

聲學諧振

在聲學中，當聲波在腔體內的反射波形成駐波時會產生聲諧振。樂器、聲學腔體等都利用了這一原理。

電子技術應用

• 無線電接收機的調諧電路

• 濾波器設計

• 振盪器電路

• 感應加熱設備

機械工程應用

• 振動篩分設備

• 超聲波清洗機

• 機械式濾波器

• 振動傳感器

光學應用

• 激光腔的諧振

• 光學干涉儀

• 法布里-珀羅諧振腔

醫學應用

• 磁共振成像（MRI）

• 超聲波診斷

• 射頻消融治療

諧振危害實例

• 橋樑因風致振動倒塌

• 建築物在地震中受損加劇

• 飛機機翼顫振

• 電力系統中的諧振過電壓

防範措施

1. 頻率錯開：設計時使固有頻率遠離可能的外界激振頻率

2. 增加阻尼：採用阻尼材料或結構消耗振動能量

3. 主動控制：使用傳感器和作動器實時抑制振動

4. 結構優化：通過形狀和材料選擇改變動力特性

非線性諧振

當系統表現出非線性特性時，會出現：

• 振幅依賴的頻率響應

• 跳躍現象

• 次諧波和超諧波共振

參數共振

當系統參數（如剛度）隨時間周期性變化時可能引發的共振，即使激振頻率與固有頻率無簡單整數關係。

隨機共振

在噪聲和非線性共同作用下，弱週期信號可以被放大的現象，見於生物感官系統等。

頻率響應函數

線性系統的頻率響應函數H(ω)描述輸出與輸入的複數比：

H(ω) = 1/(k - mω² + iωc)

其模值|H(ω)|在ω=ωᵣ時達到峰值。

相位特性

諧振時，位移響應與激振力的相位差為90°；低於諧振頻率時相位接近0°；高於諧振頻率時接近180°。

能量角度

諧振時，系統在每個週期內從外界吸收的能量與阻尼消耗的能量達到平衡，使振動穩定在最大振幅。

諧振研究可追溯至17世紀伽利略對擺的觀察。歐拉、拉格朗日等數學家發展了振動理論。19世紀，亥姆霍茲對聲學諧振的研究和特斯拉對電諧振的實驗做出了重要貢獻。20世紀以來，非線性振動理論和隨機振動理論大大擴展了對諧振現象的理解。

現代研究前沿包括：

• 微納米尺度諧振器

• 量子諧振現象

• 超材料中的異常諧振

• 非厄米系統中的奇異點諧振

諧振作為一種普遍存在的物理現象，其研究和應用仍在不斷發展中。