真子集

真子集

真子集（proper subset）是集合論中的一個基本概念。若集合A的所有元素都屬於集合B，且集合B中至少有一個元素不屬於集合A，則稱A是B的真子集，記作A⊊B或A⊂B（不同教材符號可能不同）。

在數學符號中，真子集有兩種常見表示方式：

• A⊊B（較為嚴謹的表示）

• A⊂B（某些教材中使用）

與之相對的是「子集」（可能包含相等情況），通常表示為A⊆B。

子集（subset）包含兩種情況：

1. 真子集（proper subset）：A⊆B且A≠B

2. 相等集合：A=B

因此，所有真子集都是子集，但並非所有子集都是真子集。

1. 非自反性：任何集合都不是其自身的真子集（A⊊A不成立）

2. 傳遞性：若A⊊B且B⊊C，則A⊊C

3. 空集特性：空集∅是任何非空集合的真子集

4. 有限集合：若A是有限集，|A|=n，則A有2ⁿ-1個真子集（不包括自身）

1. 設A={1,2}，B={1,2,3}，則A⊊B

2. 自然數集ℕ是整數集ℤ的真子集：ℕ⊊ℤ

3. 空集∅是任何非空集合的真子集，如∅⊊{a}

1. 冪集：一個集合所有子集的集合，包含該集合本身和空集

2. 超集：若A是B的真子集，則B是A的真超集

3. 真包含：與真子集相對的概念，表示B真包含A

真子集概念廣泛應用於：

• 數學各分支（代數、拓撲、分析等）

• 計算機科學（數據結構、算法設計）

• 邏輯學

• 概率論與統計學

1. 不同教材對符號的使用可能不同，需注意上下文

2. 真子集關係不具有自反性，這與一般子集不同

3. 在討論無限集合時，真子集可能與原集合等勢（如自然數集與整數集）