對數

對數

對數（Logarithm）是一種數學運算，用來表示某個數（真數）是另一個數（底數）的多少次方。對數的定義如下：

如果 $a^b = N$ （其中 $a > 0$, $a \neq 1$, $N > 0$），則 $b$ 稱為以 $a$ 為底 $N$ 的對數，記作：

其中：

• $a$ 稱為底數

• $N$ 稱為真數

• $b$ 稱為對數值

對數的概念最早由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾（John Napier）在1614年提出，目的是簡化複雜的乘除運算，使其轉化為加減運算，從而提高計算效率。後來，英國數學家亨利·布里格斯（Henry Briggs）進一步發展了常用對數（以10為底），並編制了對數表，廣泛應用於天文學、航海和工程計算。

(1) 常用對數（以10為底）

常用對數的底數為10，記作 $\log_{10} N$ 或簡寫為 $\lg N$，廣泛應用於科學計算和工程領域。

(2) 自然對數（以e為底）

自然對數的底數為自然常數 $e$（約等於2.71828），記作 $\log_e N$ 或 $\ln N$，在微積分、概率統計等高等數學中非常重要。

(3) 二進制對數（以2為底）

二進制對數的底數為2，記作 $\log_2 N$，主要應用於計算機科學和資訊理論，例如分析演算法的時間複雜度。

對數具有以下重要性質，可用於簡化計算：

1. 乘法轉加法：

   $$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$$

2. 除法轉減法：

   $$\log_a \left( \frac{M}{N} \right) = \log_a M - \log_a N$$

3. 冪運算轉乘法：

   $$\log_a (M^b) = b \log_a M$$

4. 換底公式：

   $$\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}$$

5. 對數的倒數關係：

   $$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

對數函數是指形如 $y = \log_a x$（$a > 0$, $a \neq 1$）的函數，其圖像特點如下：

• 定義域：$x > 0$

• 值域：全體實數 $(-\infty, +\infty)$

• 單調性：

  • 當 $a > 1$ 時，函數單調遞增

  • 當 $0 < a < 1$ 時，函數單調遞減

• 特殊點：

  • $\log_a 1 = 0$（因為 $a^0 = 1$）

  • $\log_a a = 1$（因為 $a^1 = a$）

對數在科學、工程和經濟等領域有廣泛應用，例如：

• 天文學：簡化大數計算

• 化學：計算pH值（$\text{pH} = -\log_{10} [\text{H}^+]$）

• 經濟學：計算複利和指數增長

• 計算機科學：分析演算法複雜度（如 $O(\log n)$）

• 信號處理：分貝（dB）的計算

對數與指數是互逆運算，即：

這一性質使得對數可以用於求解指數方程，例如：

早期科學家依賴對數表進行計算，但隨著計算機和計算器的普及，對數表已逐漸被取代。現代計算可直接使用計算工具（如程式語言中的 log() 和 ln() 函數）進行高效運算。

對數是一種強大的數學工具，能夠將複雜的乘除、冪運算轉化為簡單的加減法，在科學、工程和計算領域發揮重要作用。理解對數的定義、性質和應用，有助於更高效地解決實際問題。