幾何級數公式

幾何級數公式

幾何級數（Geometric Series）又稱等比級數，是指由等比數列各項相加所構成的級數。其特點是每一項與前一項的比值為一個固定常數，這個常數稱為公比（Common Ratio）。

數學表達式為：S = a + ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ⁻¹ + ...其中：

• a 為首項

• r 為公比

• n 為項數

有限幾何級數

當級數的項數有限時，稱為有限幾何級數，其和可用公式直接計算。

無限幾何級數

當級數的項數無限延伸時，稱為無限幾何級數。只有在特定條件下（|r|<1），無限幾何級數才會收斂。

有限幾何級數求和公式

對於前n項的和Sₙ：Sₙ = a(1 - rⁿ)/(1 - r) （當r≠1時）當r=1時，Sₙ = na

無限幾何級數求和公式

當|r|<1時，無限幾何級數收斂，其和為：S = a/(1 - r)

無限幾何級數收斂的充分必要條件是公比r的絕對值小於1（|r|<1）。當|r|≥1時，級數發散。

收斂性判斷：

• 當r=1時，級數變為a + a + a + ... → 發散

• 當r=-1時，級數在a和-a之間振盪 → 發散

• 當|r|>1時，項的絕對值趨於無限大 → 發散

有限幾何級數公式推導

設Sₙ = a + ar + ar² + ... + arⁿ⁻¹兩邊乘以r得：rSₙ = ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ兩式相減：(1-r)Sₙ = a - arⁿ當r≠1時，Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r)

無限幾何級數公式推導

當|r|<1且n→∞時，rⁿ→0因此S = lim(n→∞) Sₙ = a/(1-r)

1. 金融領域：計算複利、年金現值與終值

2. 物理學：衰變過程、電路分析

3. 計算機科學：算法複雜度分析

4. 工程學：信號處理、控制系統

5. 經濟學：乘數效應分析

6. 概率論：幾何分布期望值計算

1. 線性性質：若兩個幾何級數分別以a₁、r₁和a₂、r₂為參數，則它們的線性組合也是幾何級數

2. 重排性質：對於收斂的幾何級數，項的重排不影響其和

3. 積性質：兩個收斂幾何級數的柯西乘積仍是幾何級數

4. 導數性質：對幾何級數逐項求導，結果仍為幾何級數

1. 交替幾何級數：形如a - ar + ar² - ar³ + ...，公比為-r

2. 延遲幾何級數：從第k項開始的幾何級數，和為arᵏ/(1-r)（|r|<1）

3. 多重幾何級數：每一項本身又是幾何級數

4. 矩陣幾何級數：當a和r為矩陣時的推廣形式

1. 與算術級數的比較：算術級數差為常數，幾何級數比為常數

2. 與調和級數的關係：調和級數是發散的，而幾何級數可能收斂

3. 與泰勒級數的聯繫：1/(1-x)的泰勒展開就是幾何級數

4. 與冪級數的關係：幾何級數是最簡單的冪級數形式

範例1：有限幾何級數

計算1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32的和解：a=1, r=2, n=6S₆ = 1×(1-2⁶)/(1-2) = (1-64)/(-1) = 63

範例2：無限幾何級數

計算1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和解：a=1, r=1/2 (|r|<1)S = 1/(1-1/2) = 2

範例3：應用問題

某銀行存款年利率5%，每年複利，求永久年金的現值解：視為無限幾何級數，a=1, r=1/1.05現值 = 1/(1-1/1.05) = 1/(0.05/1.05) = 21

幾何級數的概念可以追溯到古希臘時期：

• 歐幾里得《幾何原本》中已有相關論述

• 阿基米德使用幾何級數求拋物線段面積

• 17世紀數學家廣泛應用於微積分發展

• 現代數學中成為分析學的基礎工具之一

1. q級數：將公比r推廣為q參數的級數理論

2. 超幾何級數：更一般的冪級數形式

3. 多變量幾何級數：在多維空間中的推廣

4. 非交換幾何級數：在非交換代數中的形式

幾何級數作為數學中的基本概念，其簡潔而強大的表達形式使其在眾多領域都有廣泛應用，是理解更複雜數學工具的基礎。