抛物線（圓錐曲線之一）

抛物線（圓錐曲線之一）

拋物線是平面上一種特殊的圓錐曲線，由一個固定點（焦點）和一條固定直線（準線）等距離的所有點組成的軌跡。數學上可以定義為到定點與定直線距離相等的點的集合。

古希臘數學家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）首次系統研究了圓錐曲線，並給出了"拋物線"（parabola）這一名稱，源自希臘語"παραβολή"，意為"比較"或"類比"。17世紀伽利略發現拋物運動的軌跡是拋物線，開普勒則確立了行星運動軌道為橢圓。

1. 頂點在原點的標準方程：

   • 開口向右：y² = 4ax

   • 開口向左：y² = -4ax

   • 開口向上：x² = 4ay

   • 開口向下：x² = -4ay

2. 一般方程：拋物線的一般二次方程形式為：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中B² - 4AC = 0

1. 對稱性：拋物線關於其軸對稱

2. 頂點：曲線的轉折點，位於對稱軸上

3. 焦點：固定點，位於對稱軸上

4. 準線：與對稱軸垂直的固定直線

5. 焦距：頂點到焦點的距離

6. 開口方向：由方程係數決定

拋物線具有獨特的光學特性：

• 平行於軸的光線經拋物面反射後會聚於焦點

• 從焦點發出的光線經反射後平行於軸射出這一性質被廣泛應用於拋物面天線、太陽灶、汽車前燈等設計中。

1. 拋體運動：忽略空氣阻力時，拋射體的軌跡是拋物線

2. 力學系統：某些勢能場中的物體運動軌跡呈拋物線

3. 天體力學：天體在特定條件下的軌道可近似為拋物線

1. 建築結構：懸索橋、拱形結構常採用拋物線形

2. 光學器件：望遠鏡、衛星天線的反射面

3. 汽車工業：車前燈反射鏡設計

4. 能源技術：太陽能聚光器的形狀設計

1. 離心率：拋物線的離心率e=1

2. 切線性質：拋物線上任一點的切線與焦半徑的夾角相等

3. 參數方程：可用參數t表示為x=at², y=2at

4. 極坐標方程：r=2a/(1+cosθ)

1. 斜拋物線：對稱軸不平行於坐標軸

2. 退化拋物線：當焦點在準線上時退化成直線

3. 高維拋物線：在更高維空間中的推廣形式

拋物線與橢圓、雙曲線同屬圓錐曲線家族，是圓錐與平面相切時的截線。當平面與圓錐的母線平行時，截得的曲線就是拋物線，處於橢圓和雙曲線之間的臨界狀態。